viernes, 22 de mayo de 2015

Objetivo del blog

Objetivo:

El objetivo de este blog es ayudar y recopilar información para aquellas personas que estén necesitando ayuda en temas de matemáticas administrativas.

5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

Objetivo

ELASTICIDAD INGRESO DE LA DEMANDA

La elasticidad ingreso de la demanda , llamada a veces elasticidad demanda-renta, mide cómo afectan las variaciones de la renta o ingresos de los consumidores a la cantidad demandada de un bien. El coeficiente de elasticidad ingreso de la demanda e I se calcula dividiendo la variación porcentual de la demanda por la variación porcentual de la renta.

De acuerdo al valor de e I , los bienes se pueden clasificar como:

• Bienes normales : Son aquellos cuyo coeficiente de elasticidad ingreso es positivo. Esto significa que cuando aumentan los ingresos del consumidor, la demanda de los bienes normales también aumenta. Pueden ser:

• Bienes de lujo: Su coeficiente de elasticidad ingreso es mayor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción mayor.

• Bienes básicos: Su coeficiente de elasticidad ingreso es positivo y menor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción menor.

• Bienes inferiores : Su coeficiente de elasticidad ingreso es negativo. Por tanto, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda de estos bienes disminuye porque el consumidor puede optar por otros productos de mayor calidad.

Debido a la variabilidad de la elasticidad ingreso, un bien puede ser de lujo a niveles bajos de ingreso y un bien inferior a niveles altos de ingreso.

ELASTICIDAD CRUZADA DE LA DEMANDA

La elasticidad cruzada de la demanda mide cómo evoluciona y se modifica la demanda de un bien cuando cambia el precio de otro. La elasticidad cruzada se calcula dividiendo el cambio porcentual de la cantidad demandada del bien X ante una variación porcentual del precio del bienY . Si los bienes son sustitutivos (por ejemplo, distintas marcas de automóviles) el aumento del precio de la marca X puede aumentar las ventas de la marca Y , por lo que la elasticidad cruzada será positiva. Si los bienes son complementarios, por ejemplo, los ordenadores o computadoras y el software, el aumento del precio de uno disminuirá las ventas del otro, por lo que la elasticidad cruzada será negativa. Si los bienes son independientes, por ejemplo, teléfonos y cepillos de dientes, por mucho que aumente el precio de uno no variará la demanda del otro, por lo que la elasticidad cruzada será cero.

El coeficiente de elasticidad cruzada del bien X con respecto al bien Y se define como:

ELASTICIDAD PRECIO DE LA OFERTA

La elasticidad precio de la oferta mide cómo la variación del precio de un bien afecta a la cantidad ofrecida de ese bien, cuando todos los demás factores permanecen constantes. Se calcula dividiendo el cambio porcentual en la cantidad ofrecida por el cambio porcentual del precio.

El coeficiente de la elasticidad precio de la oferta ( e O ) es una medida del cambio porcentual de la cantidad ofrecida de un artículo por unidad de tiempo, que resulta de una variación porcentual del precio del artículo. Si ?Qo representa el cambio en la cantidad ofrecida de un artículo debido a un cambio en su precio ?P, el coeficiente de elasticidad se define como:

De acuerdo a este criterio, la oferta se puede clasificar en elástica (si e O > 1), inelástica (si e O < 1) y unitaria (si e O = 1). Se pueden encontrar e O arco y e O punto de la misma forma que e arco y e punto.

Fuente: http://www.aulafacil.com/cursosenviados/cursomicroeconomia/Lecc-7.htm

5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

Objetivo

MAXIMOS Y MINIMOS

1. (UTILIDAD MAXIMA) Una empresa vende todas las unidades producidas a $4.00 cada una. El gasto total de la empresa G por producir x unidades esta dado en dólares por

G=50+1.3x+0.001x²

a) Escriba la expresión para la utilidad total P como una función x.

b) Determine el volumen de producción x de modo que la utilidad P sea máxima.

c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?

P=4
C=50+1.3x+0.001x²

A) P=4x-50-1.3x-0.001x²≠

P=2.7x-50-0.001x²

P'(x)=0.002x-2.7
2.7
0.002

=x

B) x=1350≠

P=2.7 (1350)-0.001(1350)2 -50

C) P=1,772.50 ≠

2. (Costo promedio mínimo) El costo promedio de fabricar cierto artículo es

C=5+48x+3x2

En donde x es el número de artículos producidos.
Encuentre el valor mínimo de C.

C=5+48x+3x2

C=5+48x-1+3x2

C'=48x2+6x
O=6x- 48x2

6x(x2)=48

x3= 486

X=2 ≠

C=5+482+3(2)2

C=5+482+3(4)
C=41≠

C es 41 cuando x=2

3. (Costo promedio mínimo) El costo de producir x artículos de cierto producto es:

C (x) =4000+3x+10-3x2
Determine el valor de x que hace del costo promedio por artículo un mínimo.

C(x)=4000+3x+0.001x2

Cx=4000x+ 3xx+ 0.001x2x

C(x)=4000x-1+3+0.001x

C'x=-4000x-2+0.001

C'(x)=-4000x2+0.001

-4000x2+0.001=0

-0.001(x2)=4000

0.001(x2)=4000

x= 210000.001

x= 2000

4. (Utilidad máxima) En el ejercicio anterior, los artículos en cuestión se venden a $8.00 cada uno. Encuentre el valor de x que maximiza la utilidad y calcule la utilidad máxima.

C(x)=4000+3x+0.001x2

I=8x
G=8x - 4000-3x - 0.001x2

G=5x – 4000 - 0.001x2

G'=5 - 0.002x

50.002=x

X=2500

G=5(2500) – 4000 – 0.001 (2500)2

=12500 – 4000 – 6250

Fuente:http://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicacion-De-Maximos-y-Minimos/313571.html

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Objetivo

La elasticidad de la demanda, también conocida como la elasticidad-precio de la demanda, es un concepto que en economía se utiliza para medir la sensibilidad o capacidad de respuesta de un producto a un cambio en su precio. En principio, la elasticidad de la demanda se define como el cambio porcentual en la cantidad demandada, dividido por el cambio porcentual en el precio. La elasticidad de la demanda puede ser expresada gráficamente a través de una simplificación de curvas de demanda.

Como descubrió el economista francés Auguste Cournot en 1850 (autor de la Loi de debit), la cantidad demandada de un bien (si todo lo demás permanece constante = ceteris paribus) es función de su precio y, por tanto, a menor precio mayor demanda. Alfred Marshall en sus Principios de Economía (1890) desarrolló el tema en forma más detallada.

Esta relación inversa entre precio y cantidad genera un coeficiente negativo, por eso generalmente se toma el valor de la elasticidad en valor absoluto. La elasticidad de la demanda se expresa comoEd y dependiendo de la capacidad de respuesta a los cambios en los precios, la elasticidad de la demanda puede ser elástica (A) o inelástica (B). Cuanto más horizontal sea la curva de demanda, mayor es la elasticidad de la demanda. Del mismo modo, si la curva de demanda es más bien vertical, la elasticidad de la demanda será inelástica al precio. Este es el tema que abordamos como parte de nuestros Conceptos de Economía.

De acuerdo a lo que hemos señalado, la elasticidad precio de la demanda se define de la siguiente manera:

En general, la demanda de un bien es inelástica (o relativamente inelástica) cuando el coeficiente de elasticidad es menor que uno en valor absoluto. Esto indica que las variaciones en el precio tienen un efecto relativamente pequeño en la cantidad demandada del bien. Un producto clásicamente inelástico es la insulina. Las variaciones en el precio de la insulina tiene una variación prácticamente nula en la cantidad demandada. Es decir, es insensible o inelástica al precio.

El concepto de “elasticidad”

Cuando la Elasticidad Precio de la Demanda es mayor que uno, se dice que la demanda de este bien es elástica (o relativamente elástica). Una disminución a la baja en el precio de la carne o el jamón serrano genera un impacto en la cantidad demandada. Por ejemplo, si el precio del jamón disminuye en un 5% y la demanda aumenta en un 10% se obtiene (10% / -5% = -2). La elasticidad es igual a 2, en valor absoluto. Nótese que este es un número sin dimensiones.

Son varios los factores que influyen en el mayor o menor grado de elasticidad de un bien. Por ejemplo, el tipo de necesidades. Si es un producto de primera necesidad, su demanda será más bien inelástica; en cambio si es un producto de lujo su demanda será más elástica, dado que un aumento en el precio alejará a algunos consumidores. También afecta la elasticidad la existencia de bienes sustitutos. Si hay buenos sustitutos, la demanda del bien será elástica y se podrá reemplazar su consumo. Al reves, si hay pocos sustitutos, la demanda tenderá a ser inelástica. Un ejemplo clásico de bienes sustitutos y elasticidad es la mantequilla y la margarina. Si la mantequilla sube mucho de precio se podrá reemplazar por la margarina.

Otro factor que afecta es el período de tiempo. La elasticidad tiende a aumentar en el largo plazoporque los consumidores tienen más tiempo para ajustar su comportamiento y adaptarse a los bienes sustitutos. Frente a otros productos, como por ejemplo el petróleo, el consumidor puede reaccionar rapidamente a un alza y disminuir su consumo, pero con el tiempo se adaptará al nuevo precio y volverá a consumir a los mismos niveles, mostrando así una demanda inelástica. Los cigarrillos son un claro ejemplo.

La elasticidad no es una función lineal

Un elemento importante a tener en cuenta es que la elasticidad de la demanda no es la misma a lo largo de toda la curva de demanda, es decir no es una función lineal. Dependiendo del producto es posible que para precios altos la demanda sea más elástica que para precios bajos, como ilustra la siguiente gráfica:

¿Por qué la elasticidad es más pequeña a precios más bajos? Esto se debe a que los niveles del precio y la cantidad demandada afectan los cambios porcentuales. Para un cambio dado del precio, el cambio porcentual es pequeño a un precio elevado y grande a un precio bajo. De manera similar, para un cambio dado en la cantidad demandada, el cambio porcentual es pequeño para una cantidad grande y grande para una cantidad pequeña. Por esto, para un cambio dado en el precio, cuanto más bajo sea el precio inicial, mayor será el cambio porcentual del precio, menor será el cambio porcentual de la cantidad demandada y menor la elasticidad.

La elasticidad precio de la demanda se puede aplicar a una gran variedad de problemas en los que se busca conocer el cambio esperado en la cantidad demandada dado un cambio contemplado en el precio. Para todo tipo de productos es muy importante conocer lo que pasará con la demanda si suben o bajan los precios. Si la demanda es elástica, una disminución del precio puede reportar muy buenos dividendos al aumentar las ventas en un porcentaje mayor al cambio en el precio. Una de las razones para aplicar impuestos adicionales a productos como el petróleo o los cigarrillos es la inelasticidad que tienen estos bienes en el largo plazo. Las personas asumen el precio más elevado y lo incorporan a su comportamiento. Para estos y otros casos,es fundamental conocer la elasticidad de la demanda.

Bibliografía:http://www.elblogsalmon.com/conceptos-de-economia/que-es-la-elasticidad-de-la-demanda

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

Objetivo

Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=o4npTRYT6Ys

Bibliografía:

5.1 Función creciente y decreciente.

Función creciente y decreciente.

Objetivo

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁y x₂, con la condición x₁ £ x₂, se verifica que

f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁< x₂se deduzca f(x₁) > f(x₂), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

Resolución:

· La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄ Þ x₃² > x₄²(por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)²). Es estrictamente decreciente en x = 0.

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

Bibliografía: http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm

5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

Extremos relativos y extremos absolutos.

Objetivo

Bibliografía:https://www.youtube.com/watch?v=uv4unCHwt9U

4.6 Diferenciales.

Diferenciales.

Objetivo

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
DEFINICION Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia P_T, si le llamamos

a la variación de f cuando x varía de x_o a x_o + h y

a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, D f @ DR_T .
Podemos expresar a D R_T en términos de h y el ángulo q que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente:

En virtud de que D R_T es un aproximador de la DIFERENCIA D f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto x_o, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir,

df = f '(x_o)h

Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto x_o. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x² es:

df = f ' (x_o)h = (2x_o)h

que también lo podemos expresar como:

d(x²) = (2x_o)h

Si especificamos el punto x_o, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:

a) El diferencial de f(x) = x² en x_o =3 es d(x²) = 6h

b) El diferencial de f(x) = x² en x_o =7 es d(x²) = 14h

c) El diferencial de f(x) = x³ en x_o =2 es d(x³) = 12h

En el caso de la función identidad f(x) = x, como f '(x_o) = 1 para todo x_o, su diferencial nos queda como df = f '(x_o)h = h o bien dx = h
Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una función f derivable en x_o, como:

df = f '(x_o)dx

Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.
En los siguientes ejemplos estimaremos la variación D f para x_o y h dados y la compararemos con el diferencial.
Ejemplo . Verifique que:

a) Para f(x) = x² se cumple que D f @ df en x_o = 1 y h = 0.1

Solución:

D f = f(1.1) - f(1) = 1.21 - 1 = 0.21
df = f ' (1)dx =(2x|_x=1 )(0.1) = (2)(0.1) = 0.20

La variación real difiere de la aproximada en una centésima.

Observación: El punto x_o + h es un punto cercano a x_o,que se encuentra a la derecha de éste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo. En el siguiente ejemplo consideraremos un incremento negativo.

b) Para f(x) = x² se cumple que D f @ df en x_o = 1 y h = -0.1

Solución:

D f = f(0.9) - f(1) = 0.81 - 1 = -0.19
df = f ' (1)dx =(2x|_x=1 )(-0.1) = (2)(-0.1) = -0.20
La variación real difiere de la aproximada en una centésima..

c) Para f(x) = x² se cumple que D f @ df en x_o = 2 y h = 0.006

Solución:

D f = f(2.006) - f(2) = 4.024036 - 4 = 0.02403
df = f ' (2)dx =(2x|_x=2 )(0.006) = (4)(0.006) = 0.02400
La variación real difiere de la aproximada en tres cienmilésimas

d) Para f(x) = se cumple que D f @ df en x_o = 8 y h = 0.2

Solución:

D f = f(8.2) - f(8) = 2.016529 - 2 = 0.016529
df = f ' (8)dx =(|_x=8 )(0.2) = (1/12)(0.2) = 0.016666
La variación real difiere de la aproximada en una diezmilésima.

e) Para f(x) = se cumple que D f @ df en x_o = 64, h = 0.2

Solución:

D f = f(64.2) - f(64) = 4.004162334 - 4 = 0.004162334
df = f ' (649)dx =(|_x=64 )(0.2) = (1/48)(0.2) = 0.00416666
La variación real difiere de la aproximada en cuatro millonésimas.

f) Para f(x) = sen(x) se cumple que D f @ df en x_o = p /3, h = 0.1

Solución:

D f = f(p /3 + 0.1) - f(p /3) = 0.9116155 - 0.8660254 = 0.04559
df = f ' (p /3)dx =(cos(x)|_x=_p_/3 )(0.1) = (0.5)(0.1) = 0.050
La variación real difiere de la aproximada en cinco milésimas.

Bibliografía: http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htm

4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

Objetivo

Bibliografía:

4.5 Derivadas de orden superior.

Objetivo

Derivadas de orden superior

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Contenido

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Notación

Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

1ra Derivada

${f}'_{(x)}$ ; $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ ; $D_x[f_{(x)}]$ ; $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ ; $\dot{y}$ ; {y}'

2da Derivada

${f}''_{(x)}$ ; $\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}$ ; $D_{xx}[f_{(x)}]$ ; $\frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2}$ ; $\ddot{y}$ ; {y}''

3ra Derivada

${f}'''_{(x)}$ ; $\frac{\mathrm{d^3} }{\mathrm{d} x^3}$ ; $D_{xxx}[f_{(x)}]$ ; $\frac{\mathrm{d^3} y}{\mathrm{d} x^3}$ ; $\dddot{y}$ ; {y}'''

n-Derivada

${f}^n_{(x)}$ ; $\frac{\mathrm{d^n} }{\mathrm{d} x^n}$ ; $\frac{\mathrm{d^n} y}{\mathrm{d} x^n}$ ; ${y}^n$

Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.

Ejemplo #1

Encontrar la 2da derivada de
$f(x)= 2x^{4}-3x+3$
Encontramos la 1ra derivada.
$f'(x)= 8x^{3}-3$
derivamos f'(x).

--Jorgetr 21:54 3 ago 2009 (CST)

Lee mas en : Derivadas de orden superior, por WikiMatematica.org
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Bibliografía: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_de_orden_superior

4.3 Diferenciación implícita.

Diferenciación implícita.

Objetivo

v Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita.v En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita. v Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

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