3.2 Diferenciación de funciones por incrementos.

Diferenciación de funciones por incrementos.

Objetivo

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIÓN POR INCREMENTOS

Diferenciación de funciones reales de varias variables reales

Diferenciación:

Incrementos y diferenciales.

Dada una función z = f(x, y), se llama incremento de la función, cuando x e y se incrementan ∆x e ∆y, a:

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)

y se llama diferencial total a:

dz =

∂z

∂x dx +

∂z

∂y dy = fx(x, y) dx + fy(x, y) dy

Diferencial de una función en un punto

Una función z = f(x, y) es diferenciable en (a, b) si su incremento se puede expresar como:

∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y donde ε1, ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0)

para lo que se debe cumplir que:

lim

(x,y)→(a,b)

|f(x, y) − f(a, b) − fx(a, b)(x − a) − fy(a, b)(y − b)|

p

(x − a)

2 + (y − b)

2

= 0

Condición suficiente de diferenciabilidad:

Si una función y sus primeras derivadas parciales son continuas en un abierto, entonces es diferenciable en el

abierto.

Condiciones necesarias de diferenciabilidad:

Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua y admite derivadas parciales primeras en el

punto.

Uso de la diferencial como aproximación:

Despreciando los términos que tienden a cero, si una función es diferenciable en (a, b) entonces se verifica la

siguiente fórmula para la estimación de errores:

∆z ' fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y cuando ∆x, ∆y ' 0

Sustituyendo los incrementos por su expresi´on, se obtiene la siguiente fórmula de aproximación:

f(x, y) ' f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) cuando (x, y) ' (a, b).

Bibliografía: http://yazminpadilla94.blogspot.mx/2015/05/32-diferenciacion-de-funcion-por.html