3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

La regla de la cadena y de la potencia.

Objetivo

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

                                             

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

                                           

entonces la función compuesta

                                     

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

                                     

Ejemplo: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

· La función sen x² es una función compuesta de otras dos f(x) = x²  y g(x) = sen x.

                                       

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

              

· Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x²

Resolución:

                                    

                                  

                         

· De g(x) = x³, se deduce g'(x) = 3x². En consecuencia,

· Por la regla de la cadena,

                                

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x^m es f'(x) = m · x^{m - 1}.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)^m

                                   

aplicando la regla de la cadena, será:

                                 [u(x)^m]' = m · u(x)^{m - 1} · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

                           

Ejercicio: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de f(x) = (x² + 1)³.

Resolución:

· Si u = x² + 1, u' = 2x

En este caso m = 3

· f'(x) = 3 (x² + 1)² · 2x = 6x (x² + 1)²

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Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

                                             

Ejercicio: cálculo de derivadas

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Resolución:

· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

                           

· Se aplica la regla de la cadena:

‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:

· u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

                                   f'(x) = (a^u )' = u' · a^u · ln a

                                         g'(x) = (e^u )' = u' · e^u

Ejercicio: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de f(x) = 4^{x sen x}

Resolución:

· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x

                        f'(x) = (4^{x sen x} )' = (sen x + x cos x) · 4^{x sen x} · ln 4

Resolución:

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

       

         

            

         

    

        

Ejemplos

 Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

· Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)

‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Resolución:

· u = x² - 1; u' = 2x

· g'(x) = (sec(x² - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x² - 1) · tg(x² - 1)

ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen³x²

Resolución:

· Llamando u = sen x², hay que derivar sen³x² = u³.

· Por la regla de la cadena, la derivada de u³ es (u³ )' = 3 · u² · u'

Llamando v = x²; u = sen v.

u' = v' · cos v = 2x · cos x²

· Finalmente, h'(x) = (sen³x²)' = 3u² · u' = 3 · sen²x² · 2x · cos x² =

= 6x · sen²x² · cos x²

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

Bibliografía: http://www.sectormatematica.cl/contenidos/cadena.htm